Bond Calculator

Выпуклость

Выпуклость потока платежей (Convexity, ) характеризует степень отклонения стоимости потока платежей от линейной функции и представляет собой второй коэффициент разложения этой стоимости в ряд Тейлора по процентной ставке. Расчет выпуклости производится по формуле:

(1)

где 

•  — текущая стоимость облигации, которая соответствует доходности Yield,
  
• — доходность к погашению (оферте),
• — частота выплаты купонов
• — величина   денежного потока,
•  — срок (в годах) от даты расчёта до даты денежного потока  . Расчёт производится на основании конвенции, установленной для облигации.

Выпуклость бессрочной облигации

Выпуклость к погашению бессрочной облигации рассчитывается по формуле

При расчете к оферте с известной датой используется формула для срочных облигаций.

Дюрация

Дюрация (Duration, D) — это средневзвешенный срок потока платежей, взвешенный по дисконтированной сумме. Иногда ее называют дюрацией Маколея (Macaulay duration), для того, чтобы отличать от модифицированной дюрации.

Расчет текущей стоимости будущих денежных потоков (и, соответственно, расчет дюрации) можно производить на основании различных финансовых моделей. Чаще всего используется дисконтирование по определенной ставке.

Для такой модели дюрация показывает чувствительность рыночной стоимости облигации к изменению рыночных процентных ставок. Она приблизительно равна процентному изменению цены при заданном изменении ставок. Например, при незначительных изменениях ставок дюрация примерна равна проценту, на который уменьшится стоимость облигации при увеличении рыночной ставки на 1%. Так, 15-летняя облигация с дюрацией 7 упадет примерно на 7% при увеличении рыночной процентной ставки на 1%. Другими словами, дюрация описывает эластичность цены облигации относительно рыночной процентной ставки.

Расчет дюрации производится по формуле:

где 

•  — номер денежного потока,
•  — текущая стоимость каждого денежного потока i,
• — текущая стоимость всех денежных потоков по облигации, и
•  — срок (в годах) от даты расчета до даты денежного потока i. Расчет YearFraction_i производится на основании конвенции (Day count convention), установленной для облигации.

или

Дюрация бессрочной облигации

Дюрация к погашению бессрочной облигации рассчитывается по формуле

При расчете к оферте с известной датой используется формула для срочных облигаций.

Подробнее – Bond duration.

Дюрация модифицированная

Модифицированная дюрация (Modified Duration, MD) — параметр, который описывает эластичность цены облигации относительно доходности. Приблизительно равна доле, на которую изменяется «грязная» цена облигации при изменении доходности на 100 базисных пунктов. В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация предполагает, что все денежные потоки по инструменту дисконтируются с одной и той же ставкой, равной его доходности. Такое допущение позволяет точно вычислить линейную составляющую зависимости между ценой и доходностью.

Для облигации параметр рассчитывается как:

где

• — доходность к погашению данной облигации,
•  — частота компаундинга, для которой рассчитывается доходность,
•  — текущая стоимость облигации, которая соответствует доходности Yield,
• — величина i денежного потока,
•  — срок (в годах) от даты расчёта до даты денежного потока i. Расчёт производится на основании конвенции (day count convention), установленной для облигации.

Модифицированная дюрация соответствует первому коэффициенту разложения функции текущей стоимости облигации в ряд Тейлора по доходности (более точно: это логарифмическая производная стоимости облигации по доходности, взятая с обратным знаком).

Модифицированная дюрация бессрочной облигации

Модифицированная дюрация к погашению бессрочной облигации рассчитывается по формуле

При расчете к оферте с известной датой используется формула для срочных облигаций.

Подробнее – Modified duration.

Доходность

Применяется метод, рекомендуемый International Security Management Association. Чувствителен к периодичности выплаты купонов.

Стоимость рассчитывается по следующей формуле:

(2)

где

• Frequency — частота выплаты купонов (которая в формуле используется как частота компаундинга),
• YearFraction — срок (в годах) от даты расчета доходности до даты денежного потока по облигации — CashFlow (купона или амортизации). 
  Расчет YearFraction производится на основании конвенции (Day count convention), установленной для облигации.

Доходность к оферте

Доходность к оферте — параметр аналогичен доходности к погашению; в отличие от доходности к погашению, учитывает только те платежи, которые будут произведены до даты досрочного выкупа, включая выкуп основной суммы долга.

При расчете к оферте расчет будет произведен до ближайшей оферты, срок окончания подачи заявок на исполнение которой не наступил на дату расчета. Если срок окончания подачи заявок не указан, он считается равным 14 дням.

Различают доходность к пут-офертам (рассчитывается доходность до даты ближайшей оферты с типом Put), колл-офертам (рассчитывается доходность до даты ближайшей оферты с типом Call) или любым офертам (рассчитывается доходность до даты ближайшей оферты любого типа).

Доходность текущая

Текущая доходность процентной облигации — это сумма купонных платежей за год, деленная на текущую рыночную (чистую) стоимость облигации.

Если по инструменту в течение ближайшего года запланирована оферта, значения купонов после которой не определены, значения неопределенных купонов принимаются равными последнему определенному купону.

Текущая доходность представляет собой упрощенный показатель, позволяющий производить сравнение нескольких облигаций.

Она не отражает общую доходность облигации в течение всего ее срока. В расчет не принимаются:

• риск реинвестирования (неопределенность ставки, по которой будущие денежные потоки облигации могут быть реинвестированы) или
• факт того, что облигация погашается по номиналу, а это является значительной частью дохода по облигации.

Пример расчета текущей доходности облигации номиналом $100, ставкой купона 5.00% и рыночной стоимостью $95.00 (чистая цена, не включающая НКД):

Соотношение с другими видами доходности

•  — облигация с премией
•  — облигация по номиналу
•  — облигация с дисконтом

Доходность текущая модифицированная

Модифицированная текущая доходность рассчитывается путем прибавления к текущей доходности следующей величины:

где:

•    — чистая стоимость облигации
•    — срок до погашения облигации в годах

Формула расчета модифицированной доходности:

Модифицированная текущая доходность — один из упрощенных методов сравнения облигаций, который, в отличие от текущей доходности, в некоторой степени учитывает возможность покупки облигации с премией или дисконтом.

Текущая модифицированная доходность бессрочной облигации

Текущая модифицированная доходность бессрочной облигации рассчитывается по формуле

При расчете к оферте с известной датой используется формула для срочных облигаций.

Стоимость базисного пункта

Цена базисного пункта (Price value of a basis point, BV01) — показатель, оценивающий изменение стоимости облигации при изменении доходности на один базисный пункт вверх. С учетом выпуклости, зависимость между изменением процентной ставки и ценой облигации будет выглядеть следующим образом:

(3)

где 

• — влияние модифицированной дюрации на цену облигации: на сколько процентов изменится цена,
•  — влияние выпуклости на цену облигации: на сколько процентов изменится цена,
•  — изменение доходности (базисный пункт = 0,01%).